Question

【题目】设．

（1）求证：在区间上没有零点；

（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）利用导数可求得在上是增函数，可得，由此得到结论；

（2）解法一：利用放缩的方式可知，则只需即可；利用导数可证得，由时，可确定此时满足题意；由时，存在实数，使得任意，均有，可知存在，不满足题意；

解法二：构造函数，求导后，分别在和两种情况下根据导函数的符号确定函数单调性，由此可确定符合题意.

（1），则，

设，则，

当时，，即为增函数，，在上是增函数，，

在区间上没有零点；

（2）解法一：由（1）知：当时，，，

，

设，则，

设，则，当时，，

在上为增函数，，即，

在上为增函数，，即，

所以对任意的恒成立．

又，时，，

所以当时，对任意的恒成立；

当时，设，则，

，所以存在实数，使得任意，均有，

所以在上为减函数，

当时，，即，时不符合题意；

综上所述：实数的取值范围为．

解法二：等价于

设，则，

设，则

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，当时，，

，

所以当时，恒成立，在上是增函数，

所以，即，即

所以当时，对任意恒成立．

当时，，存在，当时，，

在上是减函数，当时，，

即，不符合题意，故不满足题意，

综上所述，的取值范围是．