Question

【题目】椭圆的焦距是，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线的左上方.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求的面积；

（3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上。

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）的内切圆的圆心在一条定直线上

【解析】

（1）由题意求出椭圆方程中的，得解；

（2）分别利用弦长公式及点到直线的距离公式求出三角形的底与高，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）先证明，从而可得的角平分线平行轴，从而可证的内切圆的圆心在一条定直线上.

解：（1）由题意知：，得，又，

所以，

故椭圆的方程为：；

（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，

设，,则，

所以 ，

又，解得或，

由题意可得，

故所在直线方程为，即，

所以点到直线的距离，

故的面积为；

（3）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，

设，,则，

所以=，

又

，

即 ，所以的角平分线平行轴，

故的内切圆的圆心在一条定直线上.