Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若x∈[0，  

π

2

]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a，从而可求函数的最小正周期；
（2）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函数的单调性与最值即可求得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，继而可求得a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2x+a
=

3

sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴x=

π

2

时，f（x）取得最小值，
∴2sin（2×

π

2

+

π

6

）+a=-2，
∴a=-1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，属于中档题．