Question

如图所示，五面体ABCDE中，正ABC的边长为1，AE平面ABC，CD∥AE，且CD=AE．
(I)设CE与平面ABE所成的角为，AE=若求的取值范围；
(Ⅱ)在(I)和条件下，当取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

解：方法一：
（Ⅰ）取中点,连结、,由为正三角形，得，又，则，可知，所以为与平面所成角．……………2分
，……………4分
因为，得，得.……………6分
（Ⅱ）延长交于点Ｓ，连，
可知平面平面=.………………………7分
由，且，又因为=1，从而，…………………8分
又面，由三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；……………………10分
则，
从而平面与面所成的角的大小为.………………12分
方法二：
解：
（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则
设，，，.……………2分
取AB的中点M，则，
易知,ABE的一个法向量为,
由题意.………………4分
由，则，                           
得.…………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知最大值为，则当时，设平面BDE法向量为，则
取，………………8分
又平面ABC法向量为，……………………10分
所以=，
所以平面BDE与平面ABC所成角大小……………………12分

略