Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域以及导数，结合定义域，讨论和情况下，导数的正负，即可得到的单调性；

（2）求出，则在上是单调增函数等价于在上恒成立，分离参数，即在恒成立，令，

利用导数求出函数在上的最大值，即可得到实数的取值范围

（1）函数，则函数的定义域为．

①当时，故函数在上单调递增；

②当时，在有故在单调递减；

在有故在上单调递增。

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上为单调递减，在上为单调递减增

（2）由，得．

若函数 为上的单调增函数，则在上恒成立，

即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．

令，则 ．

当时，，

在上为减函数，则

所以，即的取值范围为．