Question

20．如图所示，在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，F为AC的中点，AB=BC=2，BE=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：EF⊥BD；
（Ⅱ）在线段AE上是否存在一点G，使得二面角D-BG-E的大小为$\frac{π}{3}$？若存在，求$\frac{AG}{AE}$的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，推导出MF⊥BD，ME⊥BD，由此能证明EF⊥BD．
（Ⅱ）以B为原点，分别以$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{BA}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在一点G，且$\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{2}$时，二面角D-BG-E的大小为$\frac{π}{3}$．

解答 证明：（Ⅰ）取BC的中点M，连接MF，ME，
∵AB⊥平面BCDE，MF∥AB，
∴MF⊥平面BCDE，又BD?平面BCDE，∴MF⊥BD．
在Rt△MBE与Rt△BED中，
∵$\frac{MB}{BE}$=$\frac{BE}{ED}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴Rt△MBE∽Rt△BED．
∴∠BME=∠EBD，而∠BME+∠BEM=90°，
于是∠BEM+∠EBD=90°，∴ME⊥BD，
又∵MF∩ME=M，∴BD⊥平面MEF，
又∵EF?平面MEF，∴EF⊥BD．…（5分）
解：（Ⅱ）∵AB⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，
∴以B为原点，分别以$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BE}$、$\overrightarrow{BA}$的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
设AG=λAE，依题意可得B（0，0，0），C（2，0，0），
D（2，$\sqrt{2}$，0），A（0，0，2），E（0，$\sqrt{2}$，0），F（1，0，1），
∴$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{BA}$+λ$\overrightarrow{AE}$=（0，$\sqrt{2}$λ，2-2λ），$\overrightarrow{BD}$=（2，$\sqrt{2}$，0），
设平面BGD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=\sqrt{2}λy+（2-2λ）z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{2}$，$\frac{λ}{1-λ}$），…（9分）
平面BGE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∵二面角D-BG-E的大小为$\frac{π}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3+（\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$．
∴存在一点G，且$\frac{AG}{AE}$=$\frac{1}{2}$时，二面角D-BG-E的大小为$\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．