Question

若函数f（x）的导数f′（x）=（x-

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）（x-k）^k，k≥1，k∈Z，已知x=k是函数f（x）的极大值点，则k=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：根据函数的导数，判断k的奇偶性，然后根据x=k是函数f（x）的极大值点，判断k与

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的大小关系即可得到结论．

解答： 解：∵函数的导数为f′（x）=）=（x-

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）（x-k）^k，k≥1，k∈Z，
∴若k是偶函数，则x=k，不是极值点，
则k是奇数，
若k＜

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，由f′（x）＞0，解得x＞

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或x＜k，
由f′（x）＜0，解得k＜x＜

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，即当x=k时，函数f（x）取得极大值，
∵k∈Z，∴k=1，
若k＞

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，由f′（x）＞0，解得x＞k或x＜

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k，
由f′（x）＜0，解得

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＜x＜k，即当x=k时，函数f（x）取得极小值，不满足条件，
故答案为：1

点评：本题主要考查函数的导数和极值之间的关系，先判断k是奇数是解决本题的关键．