Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

b

c

=

2 3

3

，A+3C=π．
（1）求cosC的值；
（2）求sinB的值；
（3）若b=3

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由题意可得B=2C．又由正弦定理及已知得

2 3

3

=

2sinCcosC

sinC

，即可得解．
（2）由C∈（0，π），可得sinC，根据sinB=sin2C即可求值．
（3）由B=2C，可得cosB，又A+B+C=π，可求sinA=sin（B+C），由

b

c

=

2 3

3

，b=3

3

，可得C，由面积公式即可得解．

解答： 解：（1）因为A+B+C=π，A+3C=π，
所以B=2C．                                       …（2分）
又由正弦定理，得

b

sinB

=

c

sinC

，

b

c

=

sinB

sinC

，

2 3

3

=

2sinCcosC

sinC

，
化简得，cosC=

3

3

．                                …（5分）
（2）因为C∈（0，π），所以sinC=

1-cos2C

=

1- 1 3

=

6

3

．
所以sinB=sin2C=2sinCcosC=2×

6

3

×

3

3

=

2 2

3

．     …（8分）
（3）因为B=2C，
所以cosB=cos2C=2cos2C-1=2×

1

3

-1=-

1

3

．           …（10分）
因为A+B+C=π，
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

3

3

+(-

1

3

)×

6

3

=

6

9

．
…（12分）
因为

b

c

=

2 3

3

，b=3

3

，所以c=

9

2

．
所以△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3

3

×

9

2

×

6

9

=

9 2

4

． …（14分）

点评：本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，同角三角函数关系式，三角形面积公式的应用，属于基础题．