Question

椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上有n个不同的点P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，数列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差数列，则n的最大值是（　　）

A．2000

B．2001

C．2003

D．2005

Answer 1

分析：设P（x_n，y_n），P到右准线的距离为d_n，由圆锥曲线的统一定义算出|P_nF|=2-

1

2

x_n，结合题意数列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差数列，得出关于横坐标x₁、x_n的不等式，再利用椭圆上点的横坐标范围，解之即可得到n的取值范围，从而得出n的最大值．

解答：解：求得椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的a=2，b=

3

，c=1
右焦点为F（1，0），离心率e=

1

2

设P（x_n，y_n），P到右准线x=4的距离为d_n，
根据圆锥曲线的统一定义，得

|P nF|

dn

=e=

1

2

∴|P_nF|=

1

2

d_n=

1

2

（4-x_n）=2-

1

2

x_n，
∵数列{|P_nF|}是公差大于

1

1000

的等差数列，
∴|P_nF|-|P₁F|＞

n-1

1000

，可得

1

2

x₁-

1

2

x_n＞

n-1

1000

化简得x₁-x_n＞

n-1

500

，
结合椭圆上点的横坐标的范围，得x₁-x_n＜2a=4
∴

n-1

500

＜4，得n＜2001，得n的最大值为2000
故选：A

点评：本题给出椭圆上的n个点，在焦半径成公差大于

1

1000

的等差数列情况下，求n的最大值．着重考查了椭圆的几何性质、等差数列的通项公式等知识，属于中档题．