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（2012•四川）椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是
3
3
．
分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．
解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；
此时△FAB的高为：EF=2．
此时直线x=m=c=1；
把x=1代入椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的方程得：y=±
3
2
．
∴AB=3．
所以：△FAB的面积等于：S△FAB=
1
2
×3×EF=
1
2
×3×2=3．
故答案为：3．
点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．
练习册系列答案
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（2012•四川）已知函数f(x)=cos2
x
2
-sin
x
2
cos
x
2
-
1
2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若f(α)=
3
2
10
，求sin2α的值．
（2012•四川）椭圆
x2
a2
+
y2
5
=1(a为定值，且a＞
5
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2
3
2
3
．
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xn+[
a
xn
]
2
](n∈N*)，现有下列命题：
①当a=5时，数列{xn}的前3项依次为5，3，2；
②对数列{xn}都存在正整数k，当n≥k时总有xn=xk；
③当n≥1时，xn＞
a
-1；
④对某个正整数k，若xk+1≥xk，则xk=[
a
]．
其中的真命题有
①③④
①③④
．（写出所有真命题的编号）

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