题目内容

点M是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上的一点，F1，F2分别为椭圆左右焦点，则满足|MF1|=3|MF2|的点M坐标为
（±2，0）
（±2，0）
．
分析：根据椭圆的定义结合|MF1|=3|MF2|算出|MF1|=3且|MF2|=1．再由向量的数量积运算，得到cos∠F1MF2=1，从而得到∠F1MF2=0，由此可得M为长轴的端点，得到本题答案．
解答：解：∵根据椭圆的定义，得|MF1|+|MF2|=2a=4
∴结合|MF1|=3|MF2|，可得|MF1|=3且|MF2|=1
∵
F1F2
=
MF2
-
MF1

∴平方得|
F1F2
|2=|
MF2
|2+|
MF1
|2-2|
MF2
|•|
MF1
|cos∠F1MF2，
即4=9+1-2×3×1×cos∠F1MF2，可得cos∠F1MF2=1
∴∠F1MF2=0，可得M在长轴的端点，可得M（±2，0）
故答案为：（±2，0）
点评：本题给出椭圆的方程，求椭圆上满足|MF1|=3|MF2|的点M坐标．着重考查了椭圆的定义与标准方程，向量数量积的运算性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①平面内到定点A（1，0）和定直线l：x=2的距离之比为
1
2
的点的轨迹方程是
x2
4
+
y2
3
=1；
②点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；
③平面内到两定点距离之比等于常数λ（λ＞0）的点的轨迹是圆；
④若动点M（x，y）满足
(x-1)2+(y+2)2
=|2x-y-4|，则动点M的轨迹是双曲线；
⑤若过点C（1，1）的直线l交椭圆
x2
4
+
y2
3
=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y-7=0．
其中真命题的序号是
 
．（写出所有真命题的序号）
已知P（x，y）是椭圆
x24
+y2=1上的点，求M=x+2y的取值范围．
已知椭圆C1的方程是
x2
4
+y2=1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，C2的左、右顶点分别为C1的左、右焦点．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）若直线l：y=kx+
2
与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B，且
OA
•
OB
＞2（O为原点），求k的取值范围；
（3）设P1，P2分别是C2的两条渐近线上的点，点M在C2上，且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，求△P1OP2的面积．
已知m、n、s、t为正数，m+n=2，
m
s
+
n
t
=9其中m、n是常数，且s+t最小值是
4
9
，满足条件的点（m，n）是椭圆
x2
4
+
y2
2
=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（　　）
已知P（x，y）是椭圆
x2
4
+y2=1上的点，求M=x+2y的取值范围．

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