题目内容
20．学校餐厅每天固定供应a名学生用餐，每星期一有A，B两种A、B两种菜可供选择．调查表明，凡在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．设第n个星期一选A、B两种菜分别有an、bn分别表示第n个星期一选A的人数和选B的人数．（1）试用an-1表示an，判断数列{an-$\frac{3}{5}$a}是否有为等比数列并说明理由；
（2）若第一星期选A种菜的有$\frac{a}{2}$人，求an；并问从第几星期一开始选A的人数超过B的人数的1.3倍．
分析 （1）设{an}为第n个星期一选A的人数，{bn}为第n个星期一选B的人数，bn=a-an，根据这星期一选A菜的，下星期一会有$\frac{1}{5}$改选B菜；而选B菜的，下星期一会有$\frac{3}{10}$改选A菜，可得an+1=$\frac{1}{2}$an+$\frac{3}{10}$a，运用递推关系式即可．
（2）由（1）可得an=$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$、bn=$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，利用$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$＞1.3•$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，计算即可．
解答 解：（1）根据题意可得：设{an}为第n个星期一选A的人数，{bn}为第n个星期一选B的人数，
根据这星期一选B菜的，下星期一会有$\frac{3}{10}$改选A菜，
∴an+1=an×$\frac{4}{5}$+（a-an）×$\frac{3}{10}$，
∴an+1=$\frac{1}{2}$an+$\frac{3}{10}$a，
变形可得：an+1-$\frac{3}{5}$a=$\frac{1}{2}$（an-$\frac{3}{5}$a），
∴数列{an-$\frac{3}{5}$a}是公比为$\frac{1}{2}$的等比数列；
（2）∵第一星期选A种菜的有$\frac{a}{2}$人，∴a1=$\frac{a}{2}$，
∴a1-$\frac{3}{5}$a=$-\frac{1}{10}$a，∴an=$\frac{3}{5}$a+（$-\frac{1}{10}$a）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{3}{5}a-\frac{1}{{2}^{n}}•\frac{1}{5}a$=$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
即数列{an}的通项为an=$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$，
此时bn=a-an=$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，
设从第n星期一开始选A的人数超过B的人数的1.3倍，
即$\frac{a}{5}•（3-\frac{1}{{2}^{n}}）$＞1.3•$\frac{a}{5}•（2+\frac{1}{{2}^{n}}）$，
化简得0.4＞$\frac{2.3}{{2}^{n}}$，
即2n＞$\frac{2.3}{0.4}$=5.75，
∴n≥3，
故从第3星期一开始选A的人数超过B的人数的1.3倍．
点评 本题考查数列知识在生产实际中的应用，理清题设中的数量关系，合理地运用数列知识进行求解是关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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英才计划同步课时高效训练系列答案| A． | 2 | B． | 3 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$ | B． | $\frac{{\sqrt{7}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{10}}}{3}$ | D． | $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$ |
如图，BA是⊙O的直径，AD⊥AB，点F是线段AD上异于A、D的一点，且BD、BF与⊙O分别交于点C、E．求证：$\frac{BC}{BE}=\frac{BF}{BD}$．