Question

已知双曲线的中心在原点O,右焦点为F(c,0),P是双曲线右支上一点,且△OFP的面积为.

(1)若点P的坐标为(2,),求此双曲线的离心率;

(2)若=(-1)c²,当||取得最小值时,求此双曲线的方程.

Answer 1

答案：解:(1)设所求的双曲线的方程为=1(a＞0,b＞0),

则|OF|×=,∴c=.

∴b²=c²-a²=2-a².

由点P(2,)在双曲线上,∴=1,解得a²=1.

∴离心率e==.

(2)设所求的双曲线的方程为=1(a＞0,b＞0),P(x₁,y₁),

则=(x₁-c,y₁).

∵△OFP的面积为,∴|||y₁|=.∴|y₁|=.

∵=(-1)c²,∴=(x₁-c)c=(-1)c².解得x₁=c.

∵||=≥4,

当且仅当c=时等号成立.

此时P(,±).由此得解得或(舍去).

故所求双曲线的方程为x²=1.