Question

已知圆（x-3）²+（y-4）²=16，直线l₁：kx-y-k=0．
（1）若l₁与圆交于两个不同点P，Q，求实数k的取值范围；
（2）若PQ的中点为M，A（1，0），且l₁与l₂：x+2y+4=0的交点为N，求证：|AM|•|AN|为定值．

Answer 1

分析：（1）由圆心（3，4）到已知直线的距离小于半径4，解不等式求得实数k的取值范围．
（2） 先求得N的坐标，利用一元二次方程根与系数的关系和中点公式，求得中点M 的坐标，化简|AM|•|AN|的解析式得到定值．

解答：解：（1）圆心（3，4）到已知直线的距离小于半径4，由点到直线的距
离公式得3k²+4k＞0，∴k＜-

4

3

，或k＞0．
（2）证明：由

x+2y+4=0 kx-y-k=0

 得：N(

2k-4

2k+1

，-

5k

2k+1

)，
再由

y=kx-k (x-3)2+(y-4)2=16

 得（1+k²）x²-（2k²+8k+6）x+k²+8k+9=0，
∴x1+x2=

2k2+8k+6

1+k2

，∴M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)，
∴|AM||AN|=

( k2+4k+3 1+k2 -1)2+( 4k2+2k 1+k2 )2

•

( 2k-4 2k+1 -1)2+(- 5k 2k+1 )2

=

2(2k+1)

1+k2

1+k2

5 1+k2

2k+1

=10  （为定值）．

点评：本题考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，求两直线的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，
中点公式的应用，化简|AM||AN|的解析式是解题的难点．