[题目]如图.在平面直角坐标系中.已知椭圆过点. . 分别为椭圆的右.下顶点.且．(1)求椭圆的方程,(2)设点在椭圆内.满足直线. 的斜率乘积为.且直线. 分别交椭圆于点. ．(i) 若. 关于轴对称.求直线的斜率,(ii) 求证: 的面积与的面积相等．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，，分别为椭圆的右、下顶点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆内，满足直线，的斜率乘积为，且直线，分别交椭圆于点，．

(i) 若，关于轴对称，求直线的斜率；

(ii) 求证：的面积与的面积相等．

【答案】（1）．（2）(i) ;(ii) 见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得，椭圆的方程为.

(2)(i)设出点的坐标和直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于实数k的方程，解方程可得；

(ii)利用题意证得，则的面积与的面积相等．

试题解析：

（1）由知，，

又椭圆过点，所以，

解得所以椭圆的方程为．

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为．

联立消去并整理得，，

解得，，所以．

因为直线，的斜率乘积为，所以直线的方程．

联立消去并整理得，，

解得，，所以．

(i) 因为，关于轴对称，所以，

即，解得．

当时，点在椭圆外，不满足题意．

所以直线的斜率为．

(ii) 联立解得．

所以

．

故的面积与的面积相等．

练习册系列答案

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