Question

【题目】在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AA1= ，P、Q分别是AB、AC上的点，且PQ∥BC．

（1）若平面A1PQ与平面A1B1C1相交于直线l，求证：l∥B1C1；
（2）当平面A1PQ⊥平面PQC1B1时，确定点P的位置并说明理由．S．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PQ∥BC∥B1C1，B1C1面A1B1C1，PQ面 A1B1C1，

∴PQ∥面A1B1C1；

∵面A1PQ∩面A1B1C1=l，∴PQ∥l，

∴l∥B1C1；

（2）证明：P为AB的中点时，平面A1PQ⊥面PQC1B1；

证明如下：作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，

∵PQ∥BC，AP=AQ，进而A1Q=A1P，∴A1M⊥PQ，

∵平面A1PQ⊥面PQC1B1，平面A1PQ∩面PQC1B1=PQ，

∴A1M⊥面PQC1B1，而MN面PQC1B1，

∴A1M⊥MN，即△A1MN为直角三角形；

连接AM并延长交BC于G，显然G是BC的中点，

设AP=x，则PB=2﹣x，则由 = ，可得 = ，解得AM= x，

在Rt△AA1M中， = +AM2= + x2．

同理MG=AG﹣AM= ﹣ x，

在Rt△MGN中，MN2=MG2+GN2= + = ﹣3x+ x2．

∴在Rt△A1MN中， = +MN2，

即3= + x2+ ﹣3x+ x2，

解得x=1，即AP=1，此时P为AB的中点

【解析】（1）利用线面平行的性质证明l∥B1C1；（2）作PQ的中点M，B1C1的中点N，连接A1M，MN，A1N，利用线面垂直的判定证明A1M⊥PQ，A1M⊥MN，即可平面A1PQ⊥面PQB1C1 ， 再利用余弦定理即可确定P点的位置．
【考点精析】通过灵活运用平面的基本性质及推论和平面与平面垂直的性质，掌握如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内;过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直即可以解答此题．