题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证明线与面垂直,根据判定定理,需要证明线与平面内的两条相交直线垂直,根据中点易证明,所以可以将问题转化为证明
与平面
内的两条相交直线垂直,即证明
和
;
(Ⅱ)根据上一问所证明的垂直关系,可以建立以为原点的空间直角坐标系,设
,根据
,表示点
的坐标,首先求平面
的法向量
,以及平面
的法向量
,并根据
建立方程,求
.
试题解析:(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为
,
,
所以.
由分别为
的中点,得
,
所以.
因为侧面底面
,且
,
所以底面
.
又因为底面
,
所以.
又因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)解:因为底面
,
,所以
两两垂直,故以
分别为轴、
轴和
轴,如上图建立空间直角坐标系,
则,
所以,
,
,
设,则
,
所以,
,
易得平面的法向量
.
设平面的法向量为
,
由,
,得
令, 得
.
因为直线与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,
所以,即
,
所以 ,
解得,或
(舍).
综上所得:
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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