Question

12．如图，四棱锥P-ABCD底面是边长为2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，则侧棱PC与底面ABCD夹角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

Answer 1

分析 确定四棱锥的高为$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$，即可求出侧棱PC与底面ABCD夹角的正弦值．

解答 解：∵四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧面PAD是等边三角形，且有侧面PAD⊥底面ABCD，
∴四棱锥的高为$\sqrt{3}$，
∵PC=2$\sqrt{2}$，
∴侧棱PC与底面ABCD夹角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面夹角的正弦值，考查学生的计算能力，求出四棱锥的高为$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$是关键．