Question

3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$-4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若当x∈[-1，1]时，不等式a•3^x-f（3^x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得x＜0，-x＞0，f（x）=-f（-x），即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由题意可得a•3^x-（3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4）≤0，即有a≤（$\frac{1}{{3}^{x}}$）²-4•$\frac{1}{{3}^{x}}$+1恒成立，运用换元法和指数函数的单调性和二次函数的最值求法，可得右边函数的最小值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）当x=0时，f（0）=0；
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$-4，
又f（-x）=-f（x），可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$+4．
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}+4，x＜0}\\{0，x=0}\\{x+\frac{1}{x}-4，x＞0}\end{array}\right.$；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式a•3^x-f（3^x）≤0恒成立，
由3^x＞0，即为a•3^x-（3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-4）≤0，
即有a≤（$\frac{1}{{3}^{x}}$）²-4•$\frac{1}{{3}^{x}}$+1恒成立，
令t=$\frac{1}{{3}^{x}}$（$\frac{1}{3}$≤t≤3），则a≤t²-4t+1，
由g（t）=t²-4t+1=（t-2）²-3，
t=2∈[$\frac{1}{3}$，3]，可得g（t）的最小值为-3，
则a≤-3．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用奇函数的定义，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．