Question

4．若二次函数y=ax²+bx+c（ac≠0）的图象的顶点坐标为$（-\frac{b}{2a}，-\frac{1}{4a}）$，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，-4），则点（b，c）所在曲线为（　　）

• A． 圆
• B． 椭圆
• C． 双曲线
• D． 线段

Answer 1

分析 确定以线段PQ为直径的圆的圆心坐标，利用|CM|=|CQ|，及二次函数y=ax²+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标，化简，即可求得点（b，c）所在曲线．

解答 解：由题意，以线段PQ为直径的圆的圆心坐标为C（-$\frac{b}{2a}$，0），则：
由|CM|=|CQ|，可得$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$+16=$\frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}}$，
∵二次函数y=ax²+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{1}{4a}$），
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-$\frac{1}{4a}$，
∴b²-4ac=1，
∴b²+64a²=1，a=$\frac{{b}^{2}-1}{4c}$
∴${b}^{2}+64×\frac{（{b}^{2}-1）^{2}}{16{c}^{2}}$=1
∴c²+4b²=4
∴b²+$\frac{{c}^{2}}{4}$=1
∴点（b，c）所在曲线为椭圆
故选：B．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，解题的关键是建立等式|CM|=|CQ|，正确化简．