题目内容
【题目】如图，
，
分别为椭圆
的焦点，直线
：
与
轴交于
点，若
，且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过，作互相垂直的两直线分别与椭圆交于
，
，
，
四点，求四边形
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题意可知
，又
，所以
是
的中点，即可求出椭圆方程；
（2）当直线
与
之一与
轴垂直时，易知四边形
面积
；当直线，均与轴不垂直时，设：
，联立
，得
，利用韦达定理和弦长公式可得
，
，进而求得四边形面积
关于
的解析式，再根据函数的单调性即可求出结果.
解：（1）由
得，
点坐标为
；
，
是的中点，
，
椭圆方程为
（2）当直线与之一与轴垂直时，
四边形面积；
当直线，均与轴不垂直时，不妨设：，
联立代入消去
得
设
，
，则
，
.同理
四边形面积
令
，则
，
，易知是以
为变量的增函数
所以当
，
时，
，
综上可知，
.四边形面积的取值范围为
.
名校课堂系列答案
【题目】自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查
城市和
城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了
名高中生家长进行了调查，得到下表：
关注 | 不关注 | 合计 | |
| 20 | 50 | |
| 20 | ||
合计 | 100 |
（1）完成上面的列联表；
（2）根据上面列联表的数据，是否有
的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；
（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了
人，并再从这人里面抽取
人进行采访，求所抽取的人恰好
两城市各一人的概率.
附：
（其中
）.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】某工厂有两台不同机器
和
生产同一种产品各10万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到
的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到
的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到
的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．
（1）完成下列
列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为机器生产的产品比机器生产的产品好；
|
| 合计 | |
良好以上（含良好） | |||
合格 | |||
合计 |
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从两台不同机器和生产的产品中各随机抽取2件，求4件产品中机器生产的优等品的数量多于
机器生产的优等品的数量的概率；
（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，机器每生产10万件的成本为20万元，机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器．你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？
附：独立性检验计算公式：
.
临界值表：
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
