Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，是的两个零点，求证:.

Answer 1

【答案】（1）上单调递减，上单调递增.（2）证明见解析

【解析】

（1）对函数求导，求出的解，即可得出结论；

（2）由（1）求出函数有两解满足的条件，再利用零点存在性定理求出其中一个零点，要证，只需证，即证，根据式子特征，通过构造函数，，证明，得出，即可证明结论.

（1）由条件可知，函数的定义域是.

由可得.

当时，当时，；当时，

，则在上单调递减，

在上单调递增.

（2）当时，在上单调递减，

在上单调递增.所，

①当时，即，

此时至多1个零点，故不满足条件；

②当，即，即，

因为在上单调递增且，

所以，

所以在上有且只有1个零点，

则；

当时，令，

则，在上单调递减，

在上单调递增.所以，

所以，，

又因为当时，所以，，

又因为在上单调递减，

所以在有且只有一个零点，

则，所以，

所以.