Question

【题目】在数列中，已知，().

（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）若(为非零常数)，问是否存在整数，使得对任意都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析，； （2）存在；

【解析】

（1）根据退位相减得到，得到，得到答案.

（2），根据单调性得到恒成立，讨论的奇偶性得到答案.

（1）由()①，得（）②，

①﹣②得，即（），（），

由得 ，

所以，，所以成立，

所以（），又，所以，

∴，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列 .

∴，∴数列的通项公式是.

（2）,，

要使恒成立，只需恒成立，

即恒成立，

当为奇数时，恒成立, 而的最小值为1，∴.

当为偶数时，,恒成立 而最大值为，∴，.

综上所述，的取值范围是，又为整数．

∴存在，使得对任意都有．