Question

已知数列{a_n}中，a=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），则数列{a_n}的前2n项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），a₁=1．可得a₂=

1

2

，

an+2an+1

an+1an

=

1

2

，即an+2=

1

2

an．因此：数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，

1

2

为公比的等比数列；数列{a_2n}是以a2=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．

解答： 解：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），a₁=1．
∴a₂=

1

2

，

an+2an+1

an+1an

=

1

2

，
∴an+2=

1

2

an．
∴数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，

1

2

为公比的等比数列；
数列{a_2n}是以a2=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
∴数列{a_n}的前2n项的和=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2-

2

2n

+1-

1

2n

=3-

3

2n

．
故答案为：3-

3

2n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论的思想方法，属于中档题．