Question

如图，已知：射线为，射线为，动点在的内部，于，于，四边形的面积恰为.
（1）当为定值时，动点的纵坐标是横坐标的函数，求这个函数的解析式；
（2）根据的取值范围，确定的定义域.
 

Answer 1

（1）
（2）当k=1时，定义域为{x|x>}；
当0<k<1时，定义域为{x|};
当k>1时，定义域为{x|}.

（1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a>0，b>0)。
则|OM|=，|ON|=。
由动点P在∠AOx的内部，得0<y<kx.
∴|PM|==，|PN |==
∴（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x - (a-b)y]=k
∴k(a+b)x-( a -b)y=2k         ①
又由k_PM= -=， k_PN==，
分别解得，，代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1。
∵y>0，∴
（2）由0<y<kx，得  0<<kx
       (*)
当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)x>。
当0<k<1时，由不等式②得，，∴(*)。
当k>1时，由不等式②得，且，∴(*)
但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，
所以还必须满足条件：，将它代入函数解析式，得
解得 (k>1).
综上：当k=1时，定义域为{x|x>}；
当0<k<1时，定义域为{x|};
当k>1时，定义域为{x|}.