Question

设函数表示f(x)导函数。
(I)求函数一份（x）)的单调递增区间；
(Ⅱ)当k为偶数时，数列{}满足．证明：数列{}中
不存在成等差数列的三项；
(Ⅲ)当后为奇数时，证明：对任意正整数，n都有成立．

Answer 1

（1）当k为奇数时，f(x)的单调递增区间为，当k为偶数时f(x)的单调递增区间为（2）见解析（3）见解析

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
又                  
当k为奇数时，
即的单调递增区间为                    
当k为偶函数时，
由>0，得x-1>0,∴x>1,即f(x)的单调递增区间为，
综上所述：当k为奇数时，f(x)的单调递增区间为，当k为偶数时f(x)的单调递增区间为                                        
（Ⅱ）当k为偶数时，由（Ⅰ）知
所以
根据题设条件有
∴{ }是以2为公式的比例数列                
假设数列{}中存在三项，，，成等差数列
不妨设r<s<t，则2=+
即
又 
（Ⅲ）当k为奇数时       
方法二：（数学归纳发）
当n=1是，左边=0，右边=0，显然不等式成立
设n=k+1时：



又

n=k+1时结论成立。
综上，对一切正整数n结论成立。