Question

4．已知a＞0，b＞0，设A=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，B=$\frac{a+b}{2}$，C=$\sqrt{ab}$，D=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$，试判断A、B、C、D的大小．

Answer 1

分析 由基本不等式和作差法比较可得答案．

解答 解：由基本不等式可得$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$，即B≥C，
再由基本不等式可得D=$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{b}}}$=$\sqrt{ab}$=C，
而A=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\sqrt{\frac{2ab}{2}}$=$\sqrt{ab}$=C，
又A²-B²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$-$\frac{（a+b）^{2}}{4}$=$\frac{2（{a}^{2}+{b}^{2}）-（{a}^{2}+{b}^{2}+2ab）}{4}$
=$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{4}$=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≥0，∴A≥B，
综上可得A≥B≥C≥D

点评 本题考查式子大小排序，涉及基本不等式和作差法比较式子大小，属中档题．