某企业为解决困难职工的住房问题.决定分批建设保障性住房供给困难职工.首批计划用100万元购买一块土地.该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢.楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关.楼房每升高一层.整层楼每平方米建筑费用提高20元.已知建筑第1层楼房时.每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．某企业为解决困难职工的住房问题，决定分批建设保障性住房供给困难职工，首批计划用100万元购买一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房一幢，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元，已知建筑第1层楼房时，每平方米的建筑费用为920元．为了使该幢楼房每平方米的平均费用最低（费用包括建筑费用和购地费用），应把楼房建成几层？此时平均费用为每平方米多少万元？

分析根据题意求出第1层费用，由等差数列的定义，判断出每层费用是以92为首项、2为公差的等差数列，由题意和等差数列的前n项公式求出建筑x层楼时总费用，再表示出建筑楼层为x层时每平方米的平均费用，利用基本不等式求出平均费用最小值、对应的x的值．

解答解：设建筑楼层为x层，该楼房每平方米的平均费用为f（x）万元，
由题意知：建筑第1层楼房建筑费用为：920×1000=920000（元）=92（万元），
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元），
即每层楼建筑费用是以92为首项、2为公差的等差数列，
所以由题意知，建筑x层楼时，该楼房总费用为：
$92x+\frac{x（x-1）}{2}×2+100={x^2}+91x+100$（x∈N*），
所以$f（x）=\frac{{{x^2}+91x+100}}{1000x}=\frac{x}{1000}+\frac{1}{10x}+\frac{91}{1000}$
$≥2\sqrt{\frac{x}{1000}•\frac{1}{10x}}+\frac{91}{1000}$=$\frac{2}{100}+\frac{91}{1000}=\frac{111}{1000}$，
当且仅当$10x=\frac{1000}{x}$，即x=10时，等号成立．
答：为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼房建成10层，
此时平均费用为每平方米0.111万元．

点评本题考查了基本不等式在求最值中的应用，以及等差数列的定义、前n项公式，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．