Question

3．已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．

Answer 1

分析 作出图形，由勾股定理及重心性质求出△BGD的三边，再由余弦定理即可求得答案．

解答 解：如图所示：BC=2，AC=4，
则BD=CD=1，CE=2，AD=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
BE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
令AD，BE交于点G，则：

GD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，GB=$\frac{2}{3}$BE=$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
在△BGD中，cos∠BGD=$\frac{{GD}^{2}+{GB}^{2}-{BD}^{2}}{2GD•GB}$=$\frac{\frac{40}{9}}{\frac{136\sqrt{2}}{9}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{34}$

点评 该题考查余弦定理及其应用，考查三角形的重心性质，属基础题．