Question

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点（x₀，3）到焦点的距离等于4，直线l：y=kx+b与抛物线相交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₂-x₁|=h（h为定值）．设线段AB的中点为D，与直线l：y=kx+b平行的抛物线的切点为C．
（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；
（3）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出3+

p

2

=4，由此能求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程．
（2）由

y=kx+b x2=4y

，得x²-4kx-4b=0，从而求出线段AB的中点D（2k，2k²+b），设切线方程为y=kx+m，由

y=kx+m x2=4y

，得x²-4kx-4m=0，从而求出切点坐标C（2k，k²），由C、D的横坐标相同，能证明CD垂直于x轴．
（3）由已知条件推导出S_△ABC=

h3

32

．由此能证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．

解答： 解：（1）∵抛物线x²=2py（p＞0）上的点（x₀，3）到焦点的距离等于4，
∴3+

p

2

=4，解得p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．…（2分）
焦点坐标F（0，1），准线方程为y=-1．…（4分）
（2）由

y=kx+b x2=4y

，消去y并整理，得：x²-4kx-4b=0，
∵直线l：y=kx+b与抛物线相交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
且|x₂-x₁|=h（h为定值）．设线段AB的中点为D，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，∴点D（2k，2k²+b），…（6分）
设切线方程为y=kx+m，
由

y=kx+m x2=4y

，消去y并整理，得x²-4kx-4m=0，
得△=16k²+16m=0，m=-k²，切点的横坐标为2k，得C（2k，k²），…（8分）
由于C、D的横坐标相同，∴CD垂直于x轴．…（10分）
（3）∵h²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16k²+16b，
∴b=

h2-16k2

16

．…（12分）
S_△ABC=

1

2

|CD|•|x₂-x₁|=

1

2

h|2k2+b-k2|=

h3

32

．…（15分）
∴△ABC的面积与k、b无关，只与h有关．…（16分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查直线与x轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．