Question

13．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）的定义域是[-1，1]，且满足f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$）
（Ⅰ）求函数f（x）；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若实数m满足f（m-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）令t=log_ax，则x=a^t，$\frac{1}{x}$=a^-t，结合f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$）换元整理可得函数f（x）；
（Ⅱ）分析当a∈（0，1）时和当a∈（1，+∞）时两种情况，结合指数函数的单调性和单调性的性质，可得函数f（x）为增函数；
（Ⅲ）先证明函数为奇函数，进而结合函数的单调性和定义，可将原不等式转化为-1≤m-$\frac{1}{2}$＜2m-$\frac{1}{4}$≤1，解得答案．

解答 解：（I）令t=log_ax，则x=a^t，$\frac{1}{x}$=a^-t，
∵f（log_ax）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（x-$\frac{1}{x}$），
∴f（t）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^t-a^-t），
∴f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），x∈[-1，1]，
（Ⅱ）函数f（x）为增函数，
①当a∈（0，1）时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，y=a^x为减函数，y=a^-x为增函数，
∴y=a^x-a^-x为为减函数，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为增函数．
②当a∈（1，+∞）时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，y=a^x为增函数，y=a^-x为减函数，
∴y=a^x-a^-x为为增函数，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）为增函数．
综上可得函数f（x）为增函数；
（Ⅲ）f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
若实数m满足f（m-$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{4}$-2m）＜0，
则f（m-$\frac{1}{2}$）＜-f（$\frac{1}{4}$-2m）=f（2m-$\frac{1}{4}$），
则-1≤m-$\frac{1}{2}$＜2m-$\frac{1}{4}$≤1，
解得：m∈（-$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{8}$]

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．