Question

8．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，求函数的单调性．

Answer 1

分析 求导数，$f′（x）=\frac{[x-（a-1）]（x-1）}{x}$，要判断f′（x）的符号，从而需讨论a-1和1的关系：分a-1≤0，0＜a-1＜1，a-1=1，和a-1＞1四种情况，然后根据二次函数的符号分别判断出f′（x）的符号，从而在每种情况里得出原函数的单调性．

解答 解：$f′（x）=x-a+\frac{a-1}{x}=\frac{{x}^{2}-ax+a-1}{x}$=$\frac{[x-（a-1）]（x-1）}{x}$；
∴①a-1≤0，即a≤1时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
②0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，x∈（0，a-1），x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（a-1，1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，a-1），（1，+∞）上单调递增，在（a-1，1）上单调递减；
③a-1=1时，f′（x）≥0，则：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
④a-1＞1，即a＞2时，x∈（0，1），（a-1，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上单调递增，在[1，a-1]上单调递减．

点评 考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，二次函数的取值和对应的一元二次方程根的关系，注意对a的讨论要全面，不要漏了a-1≤0的情况．