Question

1．求下列函数的定义域和值域：
（1）y=1-3^x．
（2）y=${3}^{\frac{1}{x-2}}$．
（3）y=$（\frac{1}{3}）^{\sqrt{1-x}}$．

Answer 1

分析 （1）函数定义域为R，然后由指数函数的值域求得y=1-3^x的值域；
（2）由指数上的分母不等于0求得函数的定义域，再由$\frac{1}{x-2}≠0$求得函数的值域；
（3）由指数上的根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再由$\sqrt{1-x}≥0$求得函数的值域．

解答 解：（1）函数y=1-3^x的定义域为R，
∵3^x＞0，∴-3^x＜0，1-3^x＜1，
故y=1-3^x的值域为（-∞，1）；
（2）由x-2≠0，得函数y=${3}^{\frac{1}{x-2}}$的定义域为{x|x≠2}，
∵$\frac{1}{x-2}≠0$，∴${3}^{\frac{1}{x-2}}$＞0且${3}^{\frac{1}{x-2}}$≠1．
∴y=${3}^{\frac{1}{x-2}}$的值域为（0，1）∪（1，+∞）；
（3）由1-x≥0，得x≤1，
∴y=$（\frac{1}{3}）^{\sqrt{1-x}}$的定义域为（-∞，1]，
∵$\sqrt{1-x}≥0$，
∴$（\frac{1}{3}）^{\sqrt{1-x}}$∈（0，1]．
即函数y=$（\frac{1}{3}）^{\sqrt{1-x}}$的值域为∈（0，1]．

点评 本题考查与指数函数有关的函数的值域的求法，考查复合函数的定义域，是基础题．