Question

16．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，则△BCD的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}{R}^{2}$．

Answer 1

分析 法1，将正三棱锥A-BCD补充成一个正方体AGBH-FDEC，说明正三棱锥A-BCD和正方体AGBH-FDEC有共同的外接球，设正方体AGBH-FDEC的棱长为a，求推出与正方体外接球半径R的关系，然后求解△BCD的面积．
法2，由条件A-BCD是正四面体，△BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，球心O在正四面体中心如图5，设BC=a，CD的中点为E，O₁为过点B，C，D截面圆圆心，求出截面圆半径，正四面体A-BCD的高．然后求解△BCD的面积．

解答 解：法1，由条件A-BCD是正四面体，△BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，
将正三棱锥A-BCD补充成一个正方体AGBH-FDEC如图4，
则正三棱锥A-BCD和正方体AGBH-FDEC有共同的外接球，△BCD的边长就是正方体面的对角线，
设正方体AGBH-FDEC的棱长为a，则正方体外接球半径R满足：

a²+a²+a²=（2R）²，解得${a^2}=\frac{4}{3}{R^2}$，所以BC²=${a^2}+{a^2}=\frac{8}{3}{R^2}$，
△BCD的面积$S=\frac{1}{2}BC×BDsin60°=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}{R^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{R^2}$．
法2，由条件A-BCD是正四面体，△BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，
球心O在正四面体中心如图5，设BC=a，CD的中点，

为E，O₁为过点B，C，D截面圆圆心，则截面圆半径$r={O_1}B=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
正四面体A-BCD的高$A{O_1}=\sqrt{{a^2}-{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$．
∴截面BCD与球心的距离$d=O{O_1}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R$，在Rt△BOO₁
中，${（\frac{{\sqrt{3}}}{3}a）^2}={R^2}-{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}a-R）^2}$，解得$a=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}R$．
∴△BCD的面积为$S=\frac{1}{2}BC×BDsin60°=\frac{1}{2}×{（\frac{{2\sqrt{6}}}{3}R）^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{R^2}$．

点评 本题考查空间几何体的位置关系的应用，三角形底面积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．