Question

设a=

∫

π 0

sin

x

2

cos

x

2

dx，则二项式（a

x

+

1

x

）⁶的展开式中的常数项等于

 

．

Answer 1

考点：二项式定理的应用,定积分

专题：计算题,二项式定理

分析：运用二倍角的正弦公式和积分公式，求出a，再由二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，即可求得．

解答： 解：∵a=

∫

π 0

sin

x

2

cos

x

2

dx=∫

π 0

1

2

sinxdx
=-

1

2

cosx|

π 0

=-

1

2

（cosπ-cos0）=1．
∴二项式（a

x

+

1

x

）⁶的展开式即（

x

+

1

x

）⁶的展开式的通项公式为

C

r 6

•(

x

)6-r•(

1

x

)r
=

C

r 6

•x^3-r，
令6-r=0，则r=3，

C

3 6

=20．
故答案为：20．

点评：本题考查定积分的运算，和二倍角的正弦公式，考查二项式定理的运用求特定项，属于中档题．