已知点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上的动点.EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径.求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$最大值和最小值是( )A．16.12-4$\sqrt{3}$B．17.13-4$\sqrt{3}$C．19.12-4$\sqrt{3}$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知点P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上的动点，EF为圆N：x²+（y-1）²=1的任一直径，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$最大值和最小值是（　　）

A．

16，12-4$\sqrt{3}$

B．

17，13-4$\sqrt{3}$

C．

19，12-4$\sqrt{3}$

D．

20，13-4$\sqrt{3}$

分析根据题意，得|NE|=|NF|=1且$\overrightarrow{NF}=-\overrightarrow{NE}$，由此化简得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为-3时，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最大值20，由此即得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1的最大值，当P的纵坐标为$2\sqrt{3}$时，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最小值$13-4\sqrt{3}$，由此即得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1的最小值．

解答解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且$\overrightarrow{NF}=-\overrightarrow{NE}$，
则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NF}$）
=（$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NE}$）•（$\overrightarrow{PN}$$-\overrightarrow{NE}$ ）
=${\overrightarrow{PN}}^{2}-{\overrightarrow{NE}}^{2}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1，
设P（x₀，y₀），则有$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1$即x₀²=16-$\frac{4}{3}$y₀²
又N（0，1），∴$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$=${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-1）^{2}=-\frac{1}{3}（{y}_{0}+3）^{2}+20$，
而y₀∈[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]，
∴当y₀=-3时，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最大值20，则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1=20-1=19，
当y₀=$2\sqrt{3}$时，$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$取得最小值$13-4\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$|\overrightarrow{PN}{|}^{2}$-1=$13-4\sqrt{3}$-1=$12-4\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$最大值和最小值是：19，$12-4\sqrt{3}$．
故选：C．