Question

19．已知等差数列{a_n}满足：a₃=3，a₅+a₇=12，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前10项和T₁₀．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，可得首项、公差的方程，解方程可得，再由等差数列的通项公式和求和公式即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃=3，a₅+a₇=12，
可得a₁+2d=3，a₁+4d+a₁+6d=12，
解得a₁=d=1，
则a_n=a₁+（n-1）d=1+n-1=n，
S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则前10项和T₁₀=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{10}$-$\frac{1}{11}$=1-$\frac{1}{11}$=$\frac{10}{11}$．

点评 本题考查数列的通项公式和求和公式，注意运用等差数列的通项公式，考查方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题．