Question

7．定义数列{a_n}的“项的倒数的n倍和数”为T_n=$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+…+\frac{n}{a_n}（n∈{N^*}）$，已知T_n=$\frac{n^2}{2}$（n∈N^*），则数列{a_n}是（　　）

• A． 单调递减的
• B． 单调递增的
• C． 先增后减的
• D． 先减后增的

Answer 1

分析 求出n=1时数列{a_n}的首项，再由当n≥2时，T_n-T_n-1，求得数列{a_n}的通项公式，再判断单调性，运用分子常数化或作差法，即可得到单调性．

解答 解：当n=1时，$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，
解得a₁=2．
当n≥2时，${T_n}-{T_{n-1}}=\frac{n}{a_n}=\frac{n^2}{2}-\frac{{{{（{n-1}）}^2}}}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
所以${a_n}=\frac{2n}{2n-1}（{n≥2}）$，
综上有${a_n}=\frac{2n}{2n-1}=1+\frac{1}{2n-1}（{n∈{N_+}}）$，
所以a₁＞a₂＞a₃＞…，即数列{a_n}是单调递减的．
（或用${a_{n+1}}-{a_n}=\frac{-2}{{（{2n+1}）（{2n-1}）}}＜0$）．
故选A．

点评 本题考查数列的单调性的判断，注意运用数列的递推式求得数列的通项公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．