Question

若满足∠ABC=

π

3

，AC=3，BC=m的△ABC恰有一解，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用正弦定理列出关系式，将sin∠ABC，AC，BC代入表示出sin∠BAC，根据∠BAC的范围确定出sin∠BAC的值域，分类讨论得出m的范围即可．

解答： 解：∵∠ABC=

π

3

，AC=3，BCm，
∴由正弦定理得：sin∠BAC=

BC

AC

sin∠ABC=

m

3

×

3

2

=

3 m

6

，
∵0＜∠BAC＜

2π

3

，
若

3 m

6

=1，即m=

6

3

=2

3

时，∠BAC为直角，只有一解；
若

3

2

＜

3 m

6

＜1，即3＜m＜2

3

时，∠BAC有两种情况为arcsin（

3 m

6

）或π-arcsin（

3 m

6

），三角形就有两解；
若0＜

3 m

6

≤

3

2

，即0＜m≤3时，∠BAC只有一种情形为arcsin（

3 m

6

），
综上，m的范围为（0，3]∪{2

3

}．
故答案为：（0，3]∪{2

3

}

点评：此题考查了正弦定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．