Question

5．当x→0⁺时，无穷小量f（x）=${∫}_{0}^{{X}^{2}}$sintdt是无穷小量x³的（　　）

• A． 高阶无穷小量
• B． 低阶无穷小量
• C． 同阶但非等价无穷小量
• D． 等价无穷小量

Answer 1

分析 利用高阶无穷小的定义转化成极限为0，利用罗比塔法则求出要求的极限．

解答 解：f（x）=${∫}_{0}^{{X}^{2}}$sintdt=-cost|${\;}_{0}^{{x}^{2}}$=1-cosx²，
构造极限$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{1-cos{x}^{2}}{{x}^{3}}$，
该极限是一个“$\frac{0}{0}$”型极限，运用洛必达法则求解，
∴$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{1-cos{x}^{2}}{{x}^{3}}$=$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{-4xcos{x}^{2}}{3}$=0，
故选：A．

点评 本题考查了高阶无穷小的定义及函数极限的求法，是基础题．