题目内容

15．在△ABC中，已知tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且$\sqrt{3}$（tanA+tanB）=tanAtanB-1，求△ABC的三内角的值．

分析 把已知的两等式变形后，根据两角和的正切函数公式及诱导公式化简，分别根据A和C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A和C的度数．

解答 解：∵tanB+tanC+$\sqrt{3}$tanBtanC=$\sqrt{3}$，且A+B+C=180°，
∴$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\sqrt{3}$，即tan（B+C）=-tanA=$\sqrt{3}$，
∴tanA=-$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴∠A=120°，
∵$\sqrt{3}$（tanA+tanB）=tanAtanB-1，
∴$\frac{tanB+tanA}{1-tanBtanA}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即tan（B+A）=-tanC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜C＜π，∴∠C=30°，
∴∠B=180°-120°-30°=30°，
即∠B=∠C=30°，∠A=120°．

点评 此题考查了三角形的解法，要到的知识有两角和与差的正切函数公式、诱导公式、特殊角的三角函数值，以及等腰三角形的判别方法，其中灵活运用公式把已知的两等式进行三角函数的恒等变形，得到A和C的度数，进而得到B的度数是解本题的关键．

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