Question

已知函数f（x）=2

3

sinaxcosax+2cos2ax-1（a＞0）图象上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B，C，

AB

.

AC

=16-

π2

16

（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）化简可得f(x)=

3

sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+

π

6

)，由题意可得T=

π

2

=

2π

2a

，解方程可得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(4x+

π

6

)，解不等式2kπ-

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）化简可得f(x)=

3

sin2ax+cos2ax=2sin(2ax+

π

6

)，
令A(x0，-2)，B(x0-

T

2

，2)，C(x0+

T

2

，2)，其中T为最小正周期，
则

AB

=(-

T

2

，4)，

AC

=(

T

2

，4)

AB

•

AC

=-

T2

4

+16=16-

π2

16

，
∴T=

π

2

=

2π

2a

，解得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=2sin(4x+

π

6

)
由2kπ-

π

2

≤4x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得

kπ

2

-

π

6

≤x≤

kπ

2

+

π

12

，
∴f（x）的单调递增区间为：[

kπ

2

-

π

6

，

kπ

2

+

π

12

](k∈Z)

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量和三角函数的性质，属基础题．