Question

设函数f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）在点（e，f（e））处的切线为ex-y+2=0，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求得切点处的切线斜率，由已知切线方程可得a的方程，解方程即可得到a；
（2）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax-2-lnx的导数为f′（x）=a-

1

x

，
则f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为k=a-

1

e

，
由切线为ex-y+2=0，可得a-

1

e

=e，
解得a=e+

1

e

；
（2）由f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，（x＞0），
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x＞0上递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0可得x＞

1

a

，
令f′（x）＜0可得0＜x＜

1

a

．
综上可得，a≤0时，f（x）只有减区间（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的增区间为（

1

a

，+∞），减区间为（0，

1

a

）．

点评：本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，属于中档题．