Question

已知函数f(x)=

3x-2-x

3x+2-x

．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性，写出f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．

解答：解：（1）∵f(x)=

3x-2-x

3x+2-x

=

2x•3x-1

2x•3x+1

=

6x-1

6x+1

∴f(-x)=

6-x-1

6-x+1

=

1-6x

1+6x

=-f(x)，x∈R，则f（x）是奇函数．
（2）f(x)=

6x-1

6x+1

=

(6x+1)-2

6x+1

=1-

2

6x+1

在R上是增函数，
证明如下：任意取x₁，x₂，
使得：x1＞x2∴6x1＞6x2＞0
则f(x1)-f(x2)=

2

6x2+1

-

2

6x1+1

=

2(6x1-6x2)

(6x1+1)(6x2+1)

＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）在R上是增函数．
∵0＜

2

6x+1

＜2，
∴f(x)=1-

2

6x+1

∈(-1，1)，
则f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的定义的应用，要求熟练掌握函数单调性的定义．