已知函数$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+3.x≥0\\ ax+b.x＜0\end{array}\right.$满足条件:对于?x1∈R.且x1≠0.?唯一的x2∈R且x1≠x2.使得f(x1)=f(x2)．当f成立时.则实数a+b=( )A．$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$B．$-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

5．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+3，x≥0\\ ax+b，x＜0\end{array}\right.$满足条件：对于?x₁∈R，且x₁≠0，?唯一的x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（　　）

A．

$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

B．

$-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

C．

$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$+3

D．

$-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$+3

分析根据条件得到f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．

解答解：若对于?x₁∈R，存在唯一的x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上单调，
则b=3，且a＜0，
由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），
即2a²+3=$\sqrt{9}$+3=3+3，
即a=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+3，
故选：D

点评本题主要考查分段函数的应用，根据条件得到a，b的关系是解决本题的关键．

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