Question

14．已知过点P（1，1）且斜率为-t（t＞0）的直线l与x，y轴分别交于A，B两点，分别过A，B作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为D，C，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

分析 设l的方程，求出A、B的坐标，得到AD和BC的方程，利用平行线间的距离公式求出|DC|，由四边形ABCD为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形ABCD的面积的最小值．

解答 解：如图，
设l的方程为y-1=-t（x-1），
则A（1+$\frac{1}{t}$，0），B（0，1+t）．
从而可得直线AD和BC的方程分别为
x-2y-$\frac{t+1}{t}$=0和x-2y+2（t+1）=0．
又AD∥BC，
∴|DC|=$\frac{|2t+2+1+\frac{1}{t}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|3+2t+\frac{1}{t}|}{\sqrt{5}}$．
又|AD|=$\frac{2+\frac{2}{t}}{\sqrt{5}}$，|BC|=$\frac{t+1}{\sqrt{5}}$，
∴S_{四边形PRSQ} =$\frac{1}{2}$（$\frac{2+\frac{2}{t}}{\sqrt{5}}+\frac{t+1}{\sqrt{5}}$）•$\frac{3+2t+\frac{1}{t}}{\sqrt{5}}$
=$\frac{1}{5}（t+\frac{1}{t}+\frac{9}{4}）-\frac{1}{80}$≥$\frac{1}{5}（2+\frac{9}{4}）^{2}-\frac{1}{80}$=$\frac{18}{5}$．
∴四边形PRSQ的面积的最小值为$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查直线方程的应用，平行线间的距离公式的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．