Question

4．已知等差数列{a_n}满足：a₉=19，a₄+a₈=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-4n-2}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质，求出首项与公差，即可求出通项公式以及数列的和．
（2）化简新数列的通项公式，利用裂项法求和即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n} 的公差为d，因为a₉=19，a₄+a₈=26，所以有 $\left\{\begin{array}{l}{a_1}+8d=7\\ 2{a_1}+10d=26\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=2，所以a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=$3n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+2n．
（2）由（1）知a_n=2n+1，所以bn=$\frac{1}{{{a_n}^2-4n-2}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}•（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1$-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
即数列{b_n} 的前n项和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列求和，裂项法求和的方法，考查计算能力．