Question

16．数列{a_n}是等差数列，若公差d≠0，a₁=1，且a₃是a₁，a₉的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若对任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵a₃是a₁，a₉的等比中项．
∴$（{a}_{1}+2d）^{2}$=a₁（a₁+8d），即（1+2d）²=1+8d，d≠0，解得d=1．
∴通项公式a_n=1+（n-1）=n．
（2）由通项公式知：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$≥$\frac{1}{2}$，
∵对任意的n∈N^*，不等式$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+≥λ恒成立，
∴$λ≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．