Question

已知直线

2

ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则

1

a2

+

2

b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由直线

2

ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=

2

．圆心O（0，0）到直线

2

ax+by=1的距离d=

2

2

，可得2a²+b²=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵直线

2

ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=

2

r=

2

．
∴圆心O（0，0）到直线

2

ax+by=1的距离d=

1

2a2+b2

=

2

2

，化为2a²+b²=2．
∴

1

a2

+

2

b2

=

1

2

(2a2+b2)(

1

a2

+

2

b2

)=

1

2

(2+2+

b2

a2

+

4a2

b2

)≥

1

2

(4+2

b2 a2 • 4a2 b2

)=4，当且仅当b²=2a²=1取等号．
∴

1

a2

+

2

b2

的最小值为 4．
故答案为：4．

点评：本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．