Question

17．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞$\frac{1}{2}$），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为$\frac{5}{8}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，再由互斥事件的概率及相互独立事件的概率列式求p的值；
（Ⅱ）求出ξ的所有可能取值，得到ξ取不同值时的概率，得到分布列，代入期望公式求期望．

解答 解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，
故${p}^{2}+（1-p）^{2}=\frac{5}{8}$，解得p=$\frac{1}{4}$或p=$\frac{3}{4}$．
又p$＞\frac{1}{2}$，∴p=$\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）依题意知，ξ的所有可能取值为2，4，6，8．
p（ξ=2）=$\frac{5}{8}$；
p（ξ=4）=$（1-\frac{5}{8}）×\frac{5}{8}=\frac{15}{64}$；
p（ξ=6）=$（1-\frac{5}{8}）^{2}×\frac{5}{8}=\frac{45}{512}$；
p（ξ=8）=$（1-\frac{5}{8}）^{3}=\frac{27}{512}$．
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	4	6	8
p	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{45}{512}$	$\frac{27}{512}$

Eξ=2×$\frac{5}{8}+4×\frac{15}{64}+6×\frac{45}{512}+8×\frac{27}{512}$=$\frac{803}{256}$．

点评 本题考查离散型随机变量的期望与方差，训练了独立事件概率的求法，是中档题．